Introducción a la estadistíca y las razones y proporciones..

                                                                              INTRODUCCION A LA ESTADISTICA

La estadística: es la ciencia que se ocupa de aplicar los métodos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, que nos permiten sacar conclusiones válidas para tomar decisiones razonables, basadas en los análisis de esos datos que han sido organizados.

La ___________ es la ____________ que se ___________ de aplicar los ___________ para recoger, __________, resumir y __________ datos, que nos ____________ sacar ___________ válidas para tomar __________ razonables, basadas en los _____________ de esos ___________ que han sido _____________.

                                                                                                         ESTADISTICA

                                           
LAS RAZONES Y LAS PROPORCIONES

Una razón es el cociente que se obtiene al dividir dos números
Una __________ es el ___________ que se obtiene al __________ dos ___________.
Ejemplo:

4/5, 6/13, 2/7, 9/5
Una proporción es la igualdad entre dos razones.
Una ___________ es la ___________ entre dos __________.
Ejemplo:

3/5 = 9 /15, 4/11 = 8/22
También la proporción se puede expresar de la siguiente forma. 3: 5: : 9 :15 ésta forma se lee 3 es a 5 como 9 es a 15
Donde el producto de los medios es igual al producto de los extremos, o sea, que
5 x 9 = 3 x 15 entonces 45 = 45

Para llevar una proporción de la forma de fracción a la de los puntos, debemos tomar el numerador y el denominador de la fracción y separarlo por dos puntos, luego se colocan cuatro puntos y se hace lo mismo con la segunda fracción.

Para llevar una __________ de la ___________ de __________ a la de los ____________, debemos tomar el ___________ y el ___________ de la __________ y separarlo por dos __________, luego se ___________ cuatro ___________ y se hace lo ___________ con la ___________ fracción.
Ejemplo: 4/11 = 8/22 entonces 4: 11: : 8 : 2

                                                                                             ESTADISTICA

LAS RAZONES Y LAS PROPORCIONES

En una proporción siempre nos dan tres datos para hallar un cuarto datos y para encontrar el cuarto datos, debemos multiplicar en cruz o multiplicar los medios e igualarlos a los extremos.

En una __________ siempre nos dan ___________ datos para ___________ un ___________ datos y para __________ el cuarto ___________, debemos _____________ en cruz o ___________ los ___________ e igualarlos a los ___________.

Ejemplo:

5/20 = 20/x entonces 5x = 20 x 20 de donde x = 400/5, por lo tanto, x = 80

Todo número que acompaña una variable la está multiplicando y si queremos hallar el valor de la variable, entonces debemos aplicar la operación inversa.

Todo __________ que __________ una __________ la está ___________ y si __________ hallar el __________ de la ___________, entonces debemos __________ la ___________ inversa.

Ejemplo:

5: 20: : 20 : X entonces 5X = 20 x 20 de donde X = 400/5, por lo tanto, X = 80 El 5 pasa a dividir, porque la operación inversa a la multiplicación es la división.

Ejemplo:

20/50 = x/300 entonces 50x = 20 x 300 de donde x = 6, 000/50, por lo tanto, x = 120

Para ubicar la variable con mayor facilidad en una proporción, debemos expresar las razones como fracciones propias y establecer la igualdad entre ellas, relacionando cada parte con su otra parte.

Para __________ la ____________ con mayor ____________ en una ____________, debemos ____________ las ___________ como ___________ propias y ___________ la ____________ entre ellas, ___________ cada ___________ con su otra ___________.

Ejemplo:

Luis corre 300kmts con 20 galones de gasolina. ¿Cuánto kilómetros recorrerás Luis con 50 galones?

Observa que hay 20gls y 50gls, 300kmts y x kmts, entonces relacionando galones con galones y kmts con kmts, tenemos que,

20 / 50 = 300 / X   entonces   20 X = 50 x 300 de donde simplificando X = 50 x 300 / 20 nos queda que X = 25 x 30, por lo tanto, x = 750kmts

Ejercicios (1):

Halar el valor de la variable en las siguientes proporciones.

1)  5/17   = 20/x

2)   6/15 = x/20

3)  9/12 = x/16

4)    4/8     =    x/16

5)  12/x   = 96/40

6)  8/x = 32/48

7) 45/5 = x/10

8)    x/16 = 25/8

9)   38/x   = 20/44

10)   78/88 = 30/x

Respuestas del ejercicio anterior.

1)  5x = 17 x 20 de donde    x = 17 x 20 /5 entonces x = 68

2)  15x = 6 x 20 de donde    x = 6 x 20/15 entonces x = 8

3)  12x = 9 x 16 de donde    x = 9 x 16/12 entonces x = 12

4)  8x = 4 x 16 de donde     x = 4 x 16/8 entonces x = 8

5)  96x = 12 x 40 de donde x = 12 x 40/96 entonces x = 5

6)  32x = 8 x 48 de donde   x = 8 x 48/32 entonces x = 12

7) 5x = 45 x 10 de donde    x = 45 x 10/5 entonces x = 90

8) 8x = 16 x 25 de donde x = 16 x 25/8 entonces x = 50

9) 20x = 38 x 44 de donde x = 38 x 44/20 entonces x = 83.6

10) 78x = 88 x 30 de donde  x = 88 x 30 /78 entonces x = 33.84

                                                                                             ESTADISTICA

Ejercicios (2):

Hallar el valor de la variable en cada proporción.

1) 4 / x = 12 / 60

2) x / 9 = 35 / 63

3) x / 60 = 3 / 20

4) 5 / 4 = x / 12

5) x / 4 = 30 / 40

6) 2 / x = 10 / 5

7) 30 / x = 10 / 24

8) x / 5 = 16 / 25

9) 14 / 18 = x / 36

10) 36 / 30 = 18 / x

Respuestas del ejercicio anterior.

1)  1/2x = 3 x 4 de donde    x = 3 x 4/1/2 entonces x = 24

2)  3x = 12 x 3/4 de donde   x = 12 x 3/4/3 entonces x =3

3)  2/3x = 8 x 9 de donde     x = 8 x 9/2/3 entonces x = 108

4) 1/5x = 3/4 x 4/5 de donde x = 3/4 x 4/5 /1/5 entonces x = 3

5)  1/2x = 3/5 x 5 de donde     x = 3/5 x 5 /1/2 entonces x = 6

6) 15x = 3/5 x 10 de donde x = 3/5 x 10 /15 entonces x = 2/5

7) 3/4x = 6 x 2/3 donde x = 6 x 2/3 /3/5 entonces x = 5 1/3

8) 20x = 0.5 x 30 donde x = 0.5 x 30 /20 entonces x = 3/4

9) 0.6x = 0.4 x 40 donde x = 0.4 x 40 /0.6 entonces x = 26.66

10) 18x = 2 /5 x 1 /6 donde x = 2 /5 x 1 /6 /18 entonces x = 1 /270

                                                                                                ESTADISTICA

Ejercicios (3):

Hallar el valor de la variable en cada proporción.

1) 1: 4: : 6 : x

2) x: 60: : 6 : 10

3) 4: 6:: x : 42

4) 16: x :: 12 : 9

5) 12: 15: : x : 45

Respuestas del ejercicio anterior.

1) x = 4 x 6 donde x = 24

2) 10x = 60 x 6 donde x = 60 x 6 /10 entonces x = 36

3) 6x = 4 x 42 donde x = 4 x 42 /6 entonces x = 28

4) 12x = 16 x 9 donde x = 16 x 9 /12 entonces x = 12

5) 15x = 12 x 45 donde x = 12 x 45 /15 entonces x = 36

                                                                                               ESTADISTICA

LAS RAZONES Y LAS PROPORCIONES

Cuando en una proporción hay números fraccionarios, debemos aplicar la misma regla de multiplicar en cruz y aplicar las reglas de multiplicar fracciones.

Cuando en una ___________ hay ___________ fraccionarios, debemos ___________ la misma __________ de ___________ en cruz y aplicar las ___________ de __________ fracciones.

Ejemplo:

2 /1/5 = 80 / X entonces 2 X = 80 x 1/5, multiplico 80 x 1/ 5 de donde X = 80 / 5, luego divido, por lo tanto, X = 18

Ejercicios (4):

Hallar el valor de la variable en las siguientes proporciones.

1)  1/2 / 3 = 4/x

2)  x / 3 / 4 = 12 / 3

3)   8 / 2/3 = x/9

4)  3/4 /1/5 = x/4/5

5)  1/2 /5 = 3/5/x

6) 3 / 5 / 15 = x / 10

7) 3/ 4 / 6 = 2 / 3 / x

8) 0.5 / 20 = x / 30

9) 0. 6 / 0.4 = 40 / x

10) x / 2 / 5 = 1 / 6 / 18

Respuestas del ejercicio anteror.

1)  1/2x = 3 x 4 de donde    x = 3 x 4/1/2 entonces x = 24

2)  3x = 12 x 3/4 de donde   x = 12 x 3/4/3 entonces x =3

3)  2/3x = 8 x 9 de donde     x = 8 x 9/2/3 entonces x = 108

4) 1/5x = 3/4 x 4/5 de donde x = 3/4 x 4/5 /1/5 entonces x = 3

5)  1/2x = 3/5 x 5 de donde     x = 3/5 x 5 /1/2 entonces x = 6

6) 15x = 3/5 x 10 de donde x = 3/5 x 10 /15 entonces x = 2/5

7) 3/4x = 6 x 2/3 donde x = 6 x 2/3 /3/5 entonces x = 5 1/3

8) 20x = 0.5 x 30 donde x = 0.5 x 30 /20 entonces x = 3/4

9) 0.6x = 0.4 x 40 donde x = 0.4 x 40 /0.6 entonces x = 26.66

10) 18x = 2 /5 x 1 /6 donde x = 2 /5 x 1 /6 /18 entonces x = 1 /270

                                                                                                         ESTADISTICA

                                                                                                   ESTADISTICA

APLICACION DE LA PROPORCIONALIDAD

Para ubicar con mayor facilidad la variable en una proporción, debemos expresar las razones como fracciones propias y establecer la igualdad entre ellas, relacionando cada parte con su otra parte.

Para __________ la ____________ con mayor ____________ en una ____________, debemos ____________ las ___________ como ___________ propias y ___________ la ____________ entre ellas, ___________ cada ___________ con su otra ___________.

Ejemplo:

Si un edificio proyecta una sombra de 4mts y al lado hay un poste de luz que tiene una altura de 12mts y proyecta una sombra de 20mts. ¿Cuál es la altura del edificio?

Observa que el edificio proyecta una sombra de 40mts y el poste proyecta una sombra de 20mts, mientras el poste tiene una altura de 12mts y nos preguntan por la altura del, edificios (x), entonces, organizamos los datos en forma de una proporción, cada parte con su parte, o sea, sombra sobre sombra y altura sobre altura:

                                                                                                       ESTADISTICA

Ejercicios (6):

Resuelva los siguientes problemas, aplicando la proporcionalidad.

1) Una doña prepara dulces para vender, ella prepara 175 dulces de manís y utiliza 13 libras de azúcar para prepararlo. ¿Cuántas libras de azúcar debe utilizar la doña para preparar 1,385 dulces?

2) La nieve está cayendo a una razón de dos pulgadas por hora. ¿Cuántas pulgadas de nieve caerán en 12 ½ horas?

3) En una fábrica de camisas se produce 878 camisas todos los días.    ¿Cuántas se producirán en tres meses?

4) Manuela limpia las habitaciones de un hotel, si ella limpia 18 habitaciones en 7 horas, a esa misma velocidad. ¿Cuántas horas tardará Manuela en limpiar 180 habitaciones?

5) La razón para que un trabajador de una fábrica produzca piezas es 90 piezas cada 2 horas. ¿Cuántas piezas pueden producir 7 trabajadores en 25 horas?

6) Si un árbol que está al lado de un edificio mide 12 metros de altura y refleja una sombra de 8 metros de largo. ¿Cuál será la altura del edificio si éste proyecta una sombra que mide 36 metros de largo?

7) Si la distancia a escala en un mapa para medir un río es de 5 pulgadas es igual 47kmts. ¿Cuántas pulgadas deben marcarse en el mapa si el río tiene 160kmts?

8) Un hombre gana en su trabajo $480 semanal. ¿Cuánto ganará en 5 años?

9) Dos trabajadores del campo, están trabajando en la rección de frezas, pero uno de ellos recoge 12 frezas por segundo, mientras el otro recoge 20 frezas por segundos. ¿Cuántas más frezas recoges uno que el otro en una hora?

10) Si un automóvil recorre 465kmts con 28 galones de gasolina. ¿Cuántos galones de gasolina necesitaría para recorrer 1890 km?

Resuelva los siguientes problemas, aplicando la proporcionalidad.

Respuestas del ejercicio anterior.

1) En este problema, aplicamos la proporcionalidad para resolverlo, donde cada parte va con su parte, o sea, 175 / 1385 = 13 / x luego, 175x = 1385 x 13 entonces x = 1385 x 13 / 175 por lo que x = 102.88 libras.

2) 1) En este problema, aplicamos la proporcionalidad para resolverlo, donde cada parte va con su parte, o sea, 2 /x = 1 /12.5 luego x = 2 x 12.5 por lo que x = 25 pulgadas de nieves.

3) 1) En este problema, aplicamos la proporcionalidad para resolverlo, donde cada parte va con su parte, o sea, 878 /x = 1 /3meses, pero los tres meses hay que llevarlos a días, que son 90 días, luego, x = 878 x 90 por lo que x = 79,020 camisas.

4) En este problema, aplicamos la proporcionalidad para resolverlo, donde cada parte va con su parte, o sea, 18 /180 = 7 /x luego 18x = 180 x 7 entonces x = 180 x 7 /18 por lo que x = 70 horas

5) En este problema, aplicamos la proporcionalidad para resolverlo, donde cada parte va con su parte, o sea, 90 /x = 2 /25 luego 2x = 90 x 25 entonces x = 90 x 25 /2 por lo que x = 1125 que son las piezas que produce un solo trabajador, ahora multiplicamos ese producto por 7, 125 x 7 = 7,875 piezas producen los 7 trabajadores.

6) En este problema, aplicamos la proporcionalidad para resolverlo, donde cada parte va con su parte, o sea, 8 /36 = 12 /x luego 8x = 36 x 12 entonces x = 36 x 12 / 8 por lo que x = 54 metros de altura.

7) En este problema, aplicamos la proporcionalidad para resolverlo, donde cada parte va con su parte, o sea, 5 / x = 47 / 160 luego 47x = 5 x 160 entonces x = 5 x 160 / 47 por lo que x = 17 pulgadas.

8) En este problema, debemos convertir los 5 años a semanas multiplicando 5 x 52 = 260 semanas, luego, multiplicamos 260 x 480 = $124,800 en los 5 años.

9) En este problema, debemos convertir la hora en segundo, multiplicando 60 x 60 = 3600 segundos y luego, aplicamos la proporcionalidad para resolverlo, o sea, 12 /x = 1 / 3600 luego            x = 12 3600 por lo que x = 43,200 frezas, que es la cantidad que recoge el primer hombre. El segundo hombre recoge 20 / x = 1 / 3600 luego x = 20 x 3600 por lo que x = 72,000 frezas. Ahora, establecemos la diferencia entre 72000 – 43200 = 28,800 frezas, recoge más que el otro hombre.

10) En este problema, aplicamos la proporcionalidad para resolverlo, donde cada parte va con su parte, o sea, 465 / 1890 = 28 /x luego 465x = 28 x 1890 entonces x = 28 x 1890 / 465 por lo que x = 113.80 galones.

                                                                                               ESTADISTICA

LAS RAZONES Y LAS PROPRCIONES.

     Ejercicios (7):

 1) Si un árbol que está al lado de un edificio mide 12 metros de altura y refleja una sombra de 8 metros de largo. ¿Cuál será la altura del edificio si éste proyecta una sombra que mide 36 metros de largo?

2) Si la distancia a escala en un mapa para medir un río es de 5 pulgadas es igual 47 kmts. ¿Cuántas pulgadas deben marcarse en el mapa si el río tiene 160 kmts?

 3) Un hombre gana en su trabajo $480 semanal. ¿Cuánto ganará en 5 años?

 4) Dos trabajadores del campo, están trabajando en la recolección de frezas, pero uno de ellos recoge 12 frezas por segundo, mientras el otro recoge 20 frezas por segundos. ¿Cuántas más frezas recoge uno que el otro en una hora?

 5) Si un automóvil recorre 465 kmts con 28 galones de gasolina. ¿Cuántos galones de gasolina necesitaría para recorrer 1890 km? Los siguientes problemas, aplicando la proporcionalidad.